随着我国西部大开发的大力推进，新疆、西藏等西部高原地区公路交通建设如火如荼地进行。但是由于高原区域地质条件复杂、植被稀少的环境特点，造成公路沿线泥石流频发，给工程建设和人民生命财产安全带来了极大威胁。因此，公路沿线泥石流的易发性等级评价成为了工程建设的一项重要内容。

由于泥石流灾害的严重性和突然性，国内外学者对泥石流易发性问题开展了诸多研究，提出了大量评价方法，如：人工神经网络法^[1]、集对分析法^[2]和可拓学理论^[3]等。但是发生泥石流的区域往往自然条件复杂、流域面积大、地势险峻，易发性评价指标的数值难以精确获得，只能获得数据区间，应用以上方法难以做到精确评价泥石流易发性等级。

鉴于泥石流评价指标数据区间变化的特点，采用区间数理论来描述具有区间信息特点的泥石流易发性评价指标，然后应用集对分析方法联系区间数期望分析两者间的同异反关系，以确定待评样本和评价标准间隶属程度的关系^[4]。本文根据泥石流的特点，为避免主、客观误差的产生，将区间数理论与集对分析相耦合，建立了联系期望模型，从而为高原山区的公路泥石流易发性评价提供了一种新方法，有助于公路设计时的选线、建造施工以及后期养护。

1 泥石流易发性评价模型的建立 1.1 区间数理论

区间数代表了一种不确定性，在进行多属性决策或者多等级预测时，各个属性往往无法用一个确切的数据表示，而用一个区间范围表示。这种情况下采用区间数理论进行事物属性的描述更加准确合理，结果更加符合事物的客观本质。

二元区间数的定义如下：存在实数R，对于任意的x^－，x⁺∈R, 且x^－≤x⁺，则称[X]=[x^－, x⁺]为二元区间数。x^－和x⁺分别被称为区间数的下极限和上极限，当x^－=x⁺时，则区间数变为了一个实数。目前区间数的理论和应用尚不成熟，特别是区间数间的联系问题一直尚未很好解决^[5]，将区间数理论与集对分析理论相耦合，主要运用了基于区间数的期望E([x])这一概念：

$ E\left( {\left[x \right]} \right) = \frac{{{x^ -} + {x^ + }}}{2} $

(1)

1.2 联系期望模型构建 1.2.1 集对分析理论

客观事物及其发展的多样性决定了不确定性问题的复杂性，而集对分析理论就是用来刻画和度量不确定性问题的一种行之有效的方法。集对分析理论认为事物的不确定性与确定性共处同一对矛盾体，提出了“同异反”三个概念来研究事物之间的相互转化，引入联系数来统一描述和表达。

集对是指有一定联系的2个集合构成的对子，对于集合A，B，其组成的集对可表示为：H=(A, B)，集对的联系数表达式如下：

$ \mu = a + bi + cj $

(2)

式中:μ为联系数，a，b，c分别为集对的同一度、差异度和对立度。a，b，c均为非负值，且a+b+c=1。j为对立度系数，常取-1；i为差异度系数，i∈[－1, 1]。

集对分析理论巧妙地利用差异度系数i为一个取值范围，视情况确定取值的特点，将事物的确定性和不确定性结合在联系数表达式中。因此，联系数是集对分析结果精确与否的关键。

1.2.2 联系期望及其同异反定义

上述集对方法主要用于描述具体数值与区间的关系，而在研究泥石流易发性时关于泥石流沟的数据大部分无法精确获取，常用一个数值区间表示，无法用传统的联系数概念来进行描述。因此，结合区间数理论中的期望，提出了联系期望概念，将期望间的联系数定义为联系期望，用联系期望来定量刻画同一、差异和对立之间的相互关系。

在泥石流易发性等级评价中，现场实地调查或遥感解译得到的数据可以写成区间数的形式：第m个样本的第n个评价指标的量值为[X_mn]=[x_mn^－, x_mn⁺]，根据式(1) 可写出其期望E([X_mn])。要对泥石流易发性等级评价，就要有相应的评价标准，各个易发性等级的评价指标取值区间可用区间数表示为：[S_{n, k}]=[s_{n, k}^－, s_{n, k}⁺], 即第n个评价指标的第k个评价等级的区间数，相应的区间数期望为E([S_{n, k}])。

基于联系期望这一概念，可以采用待评样本m的第n个评价指标的期望E([X_mn])与第n个评价指标的第k个评价等级E([S_{n, k})]间的联系数来反映两个区间数之间的同异反关系。两个联系期望之间的同异反关系可根据期望与评价等级的区间数在数轴上的相对位置关系进行定义。定义的关系有以下3类：① x_mn^－＞s_{n, k}^－且x_mn⁺＜s_{n, k}⁺，则样本m的评价指标n与等级k为同一性关系。② x_mn^－＞s_{n, k}⁺或者x_mn⁺＜s_{n, k}^－，则样本m的评价指标n与等级k为对立性关系。③ 除了上述两种情况外，其余关系均为差异性关系。同一与对立关系的表示见图 1。

1.2.3 联系期望的计算

泥石流易发性等级评价中，评价指标根据其数值增长与评价等级变化的关系，可分为效益型指标和成本型指标。效益型指标是指数值越大越容易发生泥石流，而成本型指标则反之，是指数值越小越容易发生泥石流。不同类型的易发性评价指标，联系期望计算公式也不相同^[5]。

对于效益型指标，其联系期望计算式如下：

$ \mu \left( {\left[{{X_{mn}}} \right], \left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ - }}{{S_{n.k}^ - - S_{n, k - 1}^ - }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k - 1}^ - \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k}^ - \\ \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ - }}{{E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) - S_{n.k}^ - }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k}^ - \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right)\\ \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ + }}{{E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) - S_{n.k}^ + }}, \;\;\;\;\;\;E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k}^ + \\ \frac{{S_{n, k}^ + - E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right)}}{{S_{n, k + 1}^ + - S_{n.k}^ + }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k}^ + \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k + 1}^ + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; -1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他情况 \end{array} \right. $

(3)

对于成本型指标，其联系期望式计算如下：

$ \mu \left( {\left[{{X_{mn}}} \right], \left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ - }}{{S_{n.k}^ - - S_{n, k + 1}^ - }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k + 1}^ - \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k}^ - \\ \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ - }}{{E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) - S_{n.k}^ - }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k}^ - \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right)\\ \frac{{E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) - S_{n, k}^ + }}{{E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) - S_{n.k}^ + }}, \;\;\;\;\;\;E\left( {\left[{{S_{n, k}}} \right]} \right) \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k}^ + \\ \frac{{S_{n, k}^ + - E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right)}}{{S_{n, k - 1}^ + - S_{n.k}^ + }}, \;\;\;\;\;\;S_{n, k}^ + \le E\left( {\left[{{X_{mn}}} \right]} \right) \le S_{n, k + 1}^ + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; -1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;其他情况 \end{array} \right. $

(4)

式中: μ([X_mn], [S_{n, k}])表示泥石流待评样本m的第n个评价指标关于等级k的联系期望；E([X_mn]), E([S_{n, k}])分别为待评样本m的第n个指标的期望和第n个指标评价标准等级k的期望；s_{n, k}⁺和s_{n, k}^－为第n个评价指标关于等级k的区间数的上下极限。

1.2.4 评价等级的判定

按照上述(3)，(4) 两式可以计算得到第m条泥石流各个易发性评价指标n关于易发性等级k的联系期望，采用式(5) 计算综合联系数：

$ {\mu _{m, k}} = \sum\limits_{n = 1}^N {{\omega _n}\mu \left( {\left[{{X_{mn}}} \right], \left[{{S_{n, k}}} \right]} \right)} $

(5)

式中：μ_{m, k}为待评样本m关于易发性等级k的综合联系数；ω_n为第n个泥石流易发性评价指标的权重系数。最后根据最大联系数原则，即

$ {\mu _{m, i}} = \mathop {\max }\limits_{1 \le k \le t} \left\{ {{\mu _{m, 1}}, {\mu _{m, 2}}, \cdots, {\mu _{m, k}}, \cdots, {\mu _{m, t}}} \right\} $

(6)

则泥石流待评样本m的易发性等级为i。

2 联系期望模型在中巴公路泥石流易发性评价中的应用 2.1 研究区概况

研究区位于天山山脉南支，属于西昆仑山腹地构造单元。中巴公路奥依塔克—布伦口段沿线长约70 km，盖孜河南北贯穿整个区域。在南部高山区，山势陡峻，河流侵蚀下切作用强烈，沟谷较深。多为“V”型，海拔高差逾越1 km。在北部及盖孜河下游，沟谷宽阔，为典型的“U”型谷。该段河流堆积作用明显、物源充分，是泥石流暴发的聚集地^[6]。

研究区内地层构造较为复杂，从古生界到新生界地层皆有分布。构造活跃，以强烈挤压、褶皱和隆起为主，因而形成高耸的褶皱和断块山。地震活动频繁，基本烈度为Ⅷ，是典型的高烈度、高海拔山区。再加上强烈的冻融循环作用，促使岩体剥落，为泥石流暴发提供了物源条件^[6]。

线路所处区域总降水量稀少，据气象记录记载，该研究区年平均降水量为97.2~127.5 mm，最大降雨量41.7 mm(1966年9月)，且大多集中在5—9月份，占全年降水量的77.2%^[7]，同时由于所处区域海拔高，夏季温度升高使得大量积雪融化，为冰川消融型泥石流的发生提供了良好的水力条件，因此中巴公路沿线泥石流在夏季暴发特别频繁。

研究区内线路沿线共发育泥石流125处，分布线密度为每千米1.78处，规模以中小型泥石流和群发性泥石流为主，且大部分为稀性泥石流。其中沟谷型泥石流54处，山坡型泥石流71处，由于所处区域为高海拔山区，其中有4处为冰川融雪型泥石流，主要分布于公路K1584+000之后。区域泥石流暴发频繁，活跃型泥石流占总数的82.3%，其暴发频率主要集中在1年1次。

2.2 评价指标的选择

泥石流的发生受到地形、地质和植被条件等各种因素影响，选择的评价指标恰当与否将会很大程度上决定评价结果的准确性。考虑到影响泥石流易发性指标间的相关性，本着评价指标简单、易于测定的原则，选取对泥石流发生起主要控制作用的指标。根据《泥石流灾害防治工程勘察规范》^[8]，选取以下14个评价指标：水土流失严重程度、泥沙沿程补给长度比、沟口泥石流堆积活动程度、河沟纵坡、区域构造影响程度、流域植被覆盖率、岩性影响、沿沟松散物储量、沟岸山坡坡度、产沙区沟槽横断面、产沙区松散物平均厚度、流域面积、流域相对高差、河沟堵塞程度。

为了验证本模型的可行性和可靠性，从实地调查后建立的中巴公路泥石流灾害数据库中，随机选取了研究区10条典型泥石流进行易发性评价。需要说明的是，在14个评价指标中对于“产沙区松散物平均厚度”指标的取值，本课题小组在实地调查过程中对产沙区5个有代表性的点进行开挖，这5个点处的松散物平均厚度即为该指标数值，然后将此平均厚度乘以产沙区面积作为估算的“沿沟松散物储量”。沟谷的各个评价指标期望值如表 1所示。同时为了保证评价结果的客观性，对于评价指标权重也同样采用《泥石流灾害防治工程勘察规范》^[8]中的权重进行赋值，评价指标的具体权重见表 2所示。

2.3 泥石流易发性等级及分级标准

泥石流易发性等级划分标准不一，参照《泥石流灾害防治工程勘察规范》^[8]和泥石流易发性评价等相关研究成果^[9-11], 根据中巴公路改造工程的实际需要，将泥石流易发性等级从低到高划分为：不易发、轻度易发、中等易发和极易发4个等级，分级标准见表 3。由于评价指标中有定性指标，故按照参考文献[12]的方法，将其分别表示为区间数[0, 0.25], [0.25, 0.5], [0.5, 0.75], [0.75, 1]对应易发性等级低易发、轻度易发、中等易发和极高易发，以便于后续联系期望的计算。同时将评价指标关于易发性等级的量值范围表示成区间数形式，见表 4。

2.4 泥石流易发性等级的判定

根据表 4中评价指标标准的区间数表示，利用式(1) 可求得评价指标关于各个易发性等级的区间数期望。同时结合表 1中评价指标的期望值，代入式(3) 和(4)，利用Matlab编程计算，即可求出待评样本与评价指标标准间的联系期望。在14个评价指标中，流域植被覆盖率、流域面积为成本型指标，采用式(4) 计算；其余指标均为效益型指标，采用式(3) 计算联系期望。然后, 将计算得到的联系期望和评价指标的权重，通过式(5) 计算得到待评泥石流关于各个易发性等级的集成联系期望，并按照最大联系期望原则即式(6)，判断待评泥石流的易发性等级。为了验证本模型评价结果的准确性，采用与本模型相同的评价指标、分级标准和指标权重，应用理论较为成熟的可拓学方法和在处理不确定性问题方面有明显优势的云模型分别对样本进行易发性评价。表 5中列出了基于可拓学方法的评价结果和云模型的评价结果，以便与本方法结果进行对比分析。

从表 5可以看出，采用联系期望模型对泥石流易发性进行评价，10条待评泥石流易发性等级主要为中等易发和极易发，占样本总数的90%，其中中等易发泥石流3条，极易发泥石流6条，轻度易发泥石流只有1条，很符合该地区泥石流暴发频率高的现象。该方法评价结果与可拓学评价结果和云模型评价结果相比较，3种方法的评价结果能够很好地吻合，说明应用基于联系期望的方法评价泥石流易发性合理可行，并且该方法能表示各影响因素变化的动态趋势，更利于实际应用。

同时将评价结果与现场实地调查记录相比较，以再次验证模型的可行性。以桩号为K1562+129的泥石流为例，根据泥石流灾害数据库的描述：“成因类型：雨洪型；沟谷类型：山沟型；暴发频率：每年暴发；活跃程度：强烈。”从描述可见，该方法将其易发性等级划分为“极易发”合情合理，且与现场调查初步判断的易发性等级一致。因此，这从与现场调查结果对比中再次验证了联系期望模型的可行性。

3 结语

泥石流易发性评价是一个复杂的不确定性问题，易发性等级受到多种因素的影响，同时又由于流域面积大、地势险峻等原因导致评价指标数据无法精确获取。从这一难点出发，采用基于区间数理论和集对分析相耦合的方法，用区间数理论来表示泥石流易发性指标的变化趋势，探讨了基于联系期望的泥石流易发性等级评价模型，并结合中巴公路沿线泥石流易发性评价实例验证了模型的可行性。实例应用表明，在评价过程中该计算模型不仅能充分反映实际数据波动区间特点，还可有效克服以往区间数分析过程繁琐的缺点，为不确定性问题的处理提供了新的参考。对于联系期望模型，在进一步研究过程中将会着重探讨区间数间的联系问题、泥石流易发性评价指标的精简以及指标分级时在分级界限处的等级模糊性问题，从而使得联系期望模型评价结果更加精确，更好地满足工程实际需要。