由于现场条件和施工要求不同，海底管道的铺设方法略有不同，包括直接铺置和埋置(含深埋和浅埋)。但因海床表面凹凸不平，海床土的液化和坍塌及管道附近水动力等因素，无论采取何种铺设方法，海底管道都可能出现局部悬空现象。由于非设计悬空而发生的管道事故，国内外有许多案例，如墨西哥湾的海底管道事故^[1]，以及我国埕岛油田管道泄漏事故^[2]，因此在分析海底管道稳定性时，需要重点考虑管道发生悬空的情况。目前对于管道的悬跨长度计算大致有3种方法，即弯矩修正法^[3]、涡激振动法^[4-5]和线性累积损伤法^[6]，但上述方法大都考虑线性波作用。由于我国海上石油开采起步较晚，目前大多数油田都建在近海区，因此在管道建设及运行阶段需考虑浅水区波浪等环境影响。大量研究结果表明，在深水区采用线性波浪理论(波高H和波长L关系为H/L→0) 计算误差一般在允许范围内，但对于浅水区，会引起较大的误差^[7]。因此研究浅水区管道的悬跨问题时，需充分考虑波浪的非线性影响，深入了解波浪在浅水区的运动特性。目前对非线性波的讨论大多集中在深水区(Stokes波浪理论)，根据Le Mehaute^[8]的研究成果可知，当水深较浅(波长L与水深d关系为d/L < 0.04) 时，Stokes波浪理论就已经不再适用，可以采用孤立波理论。

1 一阶近似孤立波理论

一般取幂级数作为势函数$\phi $，表达式^[9]为：

$ \phi = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{z^n}\phi (x, t)}, {\phi _1}(x, t) = 0 $

(1)

若假定在x无穷远处不存在波动，则自由水面z=η+d处的边界条件为：

$ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + g\eta + \frac{1}{2}({v_x} + {v_z}) = 0} \\ {\frac{{\partial \phi }}{{\partial z}}\left| {_{z = \eta + d} = \frac{{\partial \eta }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}} \right|} \end{array}} \right._{z = \eta + d}} $

(2)

式中：η为波面在静水以上的高度；v_x, v_z为流场内水质点的水平流速和竖向流速；d为水深。

在研究浅水区波浪时，通常认为水质点的竖向分速远小于水平分速，因此忽略v_z的影响，并将v_x用线性化水平分速取代，则上述边界条件可转化为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} + g\eta + \frac{1}{2}\frac{g}{d}{\eta ^2} = 0} \\ {\frac{{\partial \phi }}{{\partial z}} = \frac{{\partial \eta }}{{\partial z}} + \sqrt {\frac{g}{d}} \eta \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}} \end{array}} \right. $

(3)

根据上述条件，可得到自由水面非线性影响的二阶近似波动方程：

$ \frac{{{\partial ^2}\eta }}{{\partial {t^2}}} = gd\frac{{{\partial ^2}\eta }}{{\partial {x^2}}} + gd\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{3}{2}\frac{{{\eta ^2}}}{d} + \frac{{{d^2}}}{3}\frac{{{\partial ^2}\eta }}{{\partial {x^2}}}} \right) $

(4)

考虑到浅水区水质点的竖向分速很小，因此忽略v_z的影响，只需取一阶近似解：

$ \eta = H{\text{sech}}^2\left[ {{\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} }(x + t\sqrt {g(d + H)} )} \right] $

(5)

式中：H为波高，则势函数$\phi $为：

$ \phi = \frac{{2d}}{{\sqrt {3g} }}\tanh \left[{\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} ({x}-{t}\sqrt {{g}({d} + {H})} )} \right] $

(6)

根据式(6) 可求得波浪场内任意一水质点的水平分速v_x为：

$ {v_x} = \frac{{\partial \phi }}{{\partial x}} = \sqrt {\frac{H}{d}} {\operatorname{sech} ^2}\left[{\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} ({x}-{t}\sqrt {{g}({d} + {H})} )} \right] $

(7)

2 波浪力计算

在求解管道允许长度时，需对管道进行受力分析。由于浅水区波浪对管道的影响较大，应充分考虑波浪作用下管道所受的动水作用力，也可以称为波浪力。图 1为波浪力计算模型图，不考虑尾流效应影响，根据Morision方程^[10]，裸置管道所受的水平力F_H和垂直力F_V分别为：

$ {F_{\rm{H}}} = {F_{{\rm{HI}}}} + {F_{\rm{D}}} $

(8)

$ {F_{\rm{V}}} = {F_{{\rm{VI}}}} + {F_{\rm{L}}} $

(9)

式中：${F_{{\rm{HI}}}} = {\rho _{\rm{w}}}({\rm{ \mathsf{ π} }}{{R}^2}/4){{C}_{\rm{M}}}\partial {v_x}/\partial t$为水平惯性力；ρ_w为海水密度；R为管道直径；C_M为惯性力系数；${v_x} = \partial \phi /\partial x$为水质点运动的水平分速；$\partial {v_x}/\partial t$为管线中心位置处波动水质点的水平加速度；F_D=ρ_wRC_Dv_x²/2为阻力，C_D为阻力系数；${F_{{\rm{VI}}}} = {\rho _{\rm{w}}}({\rm{ \mathsf{ π} }}{{R}^2}/4){{C}_{\rm{M}}}\partial {v_x}/\partial t$为垂直惯性力，${v_x} = \partial \phi /\partial z$为水质点运动的竖向分速；F_L=ρ_wRC_Dv_x²/2为阻力，C_L为举力系数。

根据浅水区的线性假设，忽略v_z，根据式(7)~(9) 推导得出浅水区管道悬空段所受波浪力为：

$ {F_{\rm{H}}} = {F_{{\rm{HI}}}} + {F_{\rm{D}}} = {C_{\rm{M}}}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{\rho _w}H{R^2}}}{{4{d^2}}}\sqrt {3g(d + H)}\text{tanh}\left[ {\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} (x + t\sqrt {g(d + H)} )} \right]\\ {\operatorname{sech} ^2}\left[ {\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} (x + t\sqrt {g(d + H)} )} \right] + {C_{\rm{D}}}\frac{{{\rho _w}HR}}{{2d}}{\operatorname{sech} ^4}\left[{\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} ({x}-{t}\sqrt {{g}({d} + {H})} )} \right] $

(10)

$ {F_{\rm{L}}}+{F_{\rm{L}}}={C_{\rm{L}}}\frac{{{\rho _w}HR}}{{2d}}{\operatorname{sech} ^4}\left[{\sqrt {\frac{{3H}}{{4{d^3}}}} ({x}-{t}\sqrt {{g}({d} + {H})} )} \right] $

(11)

由式(10) 和(11) 可以看出，要计算管道所受的动水作用力，也可称作波浪力，必须知道3个参数，即惯性力系数C_M、阻力系数C_D以及举力系数C_L的大小，本文根据文献[10]中提出的参数值进行选取。

3 海底管道允许悬空长度计算 3.1 悬空形式

管道无论是埋置在海床中，还是直铺在海床上，在波流冲刷下都有可能发生悬空，由于海床地形以及海域的环境条件不同，悬空形式也不同。通常浅水区管道受波浪的影响较大，管道铺设较多采用浅埋方式。在这种情况下，埋置管道经过波流的长期冲刷，部分管道会裸露在海床面，而后又在波流的进一步冲刷下发生悬空，管道悬空示意见图 2。

3.2 允许悬空长度计算

在自身重力(包括配重)和环境荷载作用下，管道的悬空段发生静力及动力响应，当管道周围海流速度较小时，可以考虑采用静力方法计算管道的悬空长度。利用静力法计算管道的允许悬空长度时，往往从管道最大静弯曲应力不超过材料许用应力的角度出发。将计算得到的弯曲应力与材料的许用应力进行比较，得到管道的允许悬空长度。

由于管道两端埋置在海床中，可认为管道两端固定，在计算时将单位长度管道上的动水作用力、水下管道单位长度的自重(包括相关配件及输送介质的重量)等外力进行矢量合成，并将该合力以分布荷载的形式作用到管道上，如图 3所示。

考虑管道发生悬空时，管道C点最易发生破坏，因此分析时主要计算该处的弯曲应力。但从图 3可以看出，若要求M_C，必须先计算出管道所受的6个未知反力(包括m_A，R_A，H_A，m_B，R_B，H_B)，而有效的静力平衡方程只有3个，因此，该问题为3次超静定问题。然而，在小变形的情况下，可以认为沿管道线的水平位移很小，可以忽略不计，即可以忽略水平反力H_A与H_B。这样就去掉了1个有效的平衡方程，因此，在小变形情况下，有4个未知反力，将问题变为二次超静定问题。

在求解该二次超静定问题时，将两端限制转动的约束去掉，代之以相应的力偶m_A，m_B，即将图 3中给出的管道受力情况简化为图 4所示。

根据变形相容条件，可知θ_A=0，θ_B=0，得到：

$ {m_A} = q{l^2}/12, {m_B} = q{l^2}/12 $

(12)

式中：l为管跨长度；q为集中荷载，由单位长度管道上的动水作用力F_H和F_V，以及水下管道单位长度的重力F_P(包括相关配件及输送介质的重量)等外力进行矢量合成，$q = \sqrt {F_{\rm{H}}^2 + {{({F_V} + {F_P})}^2}} $。

根据平衡方程∑M_A=0与∑M_B=0，得：

$ R_A=ql/2, R_B=ql/2 $

(13)

式中：M_A，M_B，R_A，R_B分别为支点A和B点的弯矩和反力。

假想沿C截面将管切断，保留左端，按正方向假设出C截面上的剪力V_C和弯矩M_C(见图 4)。根据平衡方程∑Y=0与∑M_C=0，得：

$ V_C=0, M_C=7ql^2/24 $

(14)

根据材料力学可知，管道C点横截面上的最大弯曲应力为：

$ {\sigma _{\max }} = {M_C}/{W_z} $

(15)

式中：W_z为抗弯截面系数，对于圆管W_z=4πR₂³R₂⁴-R₁⁴，R₁为管道内半径，R₂为管道外半径。

根据式(14) 与(15)，得：

$ {\sigma _{\max }} \leqslant = \frac{{7q{l^2}}}{{96{\rm{ \mathsf{ π} }}R_2^3(R_2^4 - R_1^4)}} $

(16)

在求解管道的允许悬空长度时，认为管道的最大弯曲应力σ_max应小于材料的许用应力[σ]，即：

$ {\sigma _{\max }} \leqslant [\sigma] $

(17)

根据式(16) 与式(17)，给出允许悬空长度计算式：

$ {l_{\max }} = \sqrt {\frac{{96{\rm{ \mathsf{ π} [}}\sigma {\rm{]}}R_2^3(R_2^4 - R_1^4)}}{{7q}}} $

(18)

根据孤立波理论，得到管道允许悬空长度为：

$ {l_{\max }} = \sqrt {\frac{{96{\rm{ \mathsf{ π} [}}\sigma {\rm{]}}R_2^3(R_2^4 - R_1^4)}}{{7{{[{F}_{\rm{H}}^2 + {{({F_V} + {F_P})}^2}]}^{1/2}}}}} $

(19)

4 工程实例

某油田位于渤海湾，目前年产原油近100万t。自2008年8月首条海底管道埋设投产运行以来，工程海区海床普遍呈现整体冲刷态势，部分埋设管道已出现了裸露、悬空现象，其中1-1^#~1-3^#人工岛之间的海底输油管道出现大面积吸沙区，且吸沙区内海底输油管道出现大范围悬空(见图 5)，管道悬空状况见表 1。当管道悬空长度达到一定值时，管道较容易失稳，甚至发生重大安全事故，造成油田停产、生态环境破坏等严重后果，因此需要对悬空的海底管道进行定期维护和处理，但由于海上施工作业成本高，难度大，可以对处于悬空但在安全允许悬空范围内的管道暂不进行加固，以节省施工成本，因此需要计算管道的允许悬空长度。

管道材料为X65Q，密度为7 850 kg/m³，弹性模量为207 GPa。其中混输管道采用双管结构，外管直径660 mm，内管直径508 mm，供水管道直径356 mm。根据API 5I PSL2标准可知X65钢管材料许用弯曲应力为327 MPa。计算时采用的波浪要素为考虑冲刷最严重的情况，分别计算设计波浪50年、5年、2年重现期时海底管道允许悬空长度。波浪要素具体数值^[12]为：水深d为5 m，海水密度ρ_w为1 030 kg/m³，50年、5年、2年重现期的波长L分别为80.0，70.3和65.2 m；周期T分别为8.8，8.3和7.8 s，波高H分别为4.69，3.94和3.67 m。

根据式(19) 计算得混输管道50年、5年和2年重现期的允许悬空长度分别为35.42，35.31和35.27 m；供水管道相应的允许悬空长分别为30.504, 30.528和30.605 m。可见，计算得到混输管道允许悬空长度大约为35 m；供水管道的允许悬空长度相对较小，允许悬空长度大约为30 m。而从表 1可以看出，目前混输管道有两段大于允许悬空长度，供水管道有一段大于允许悬空长度。这些管道存在严重的安全隐患，一旦结构损坏，必将造成极大的经济损失和生态破坏，应对这些管道进行及时处理。

5 结语

根据浅水区波浪特点，基于一阶近似孤立波理论，利用Morison方程推导出浅水区海底管道悬空段所受波浪力的求解公式。针对常见的悬空形式，基于材料力学理论，从管道最大静弯曲应力不超过材料许用应力的角度出发，计算出管道的最大弯曲应力，并与材料的许用应力进行比较，进一步推导出浅水区管道允许悬空长度的计算式。最后，根据推导公式计算出渤海湾某油田海底管道的允许悬空长度。据相关资料可知，目前该海区有部分管道已超过计算的允许悬空长度，应对其进行加固处理，以免发生事故，造成不必要的经济损失和生态破坏。