波浪侵蚀率指单位时间内波浪造成的侵蚀发展速率，主要与波浪要素、土质、水域特征有关。在某一特定地区其土质与水域特征一定，则波浪侵蚀率主要由波浪要素决定。船行波的波浪要素主要包括波速、波长、最大波高以及波周期。

船行波的研究始于19世纪60年代，Rankine于1868年最早发表了关于船行波问题的论著，英国学者Froude则在1877年对船行波的形态做了一系列研究，并绘制出了船行波形态图^[1]。船行波理论研究的主要奠基人造船学家Kelvin在1887年首次从理论上对船行波进行了分析研究^[2]，他以一个在水面上作等速直线运动的压力扰动点代替船舶研究其对水体的作用，对于无限水深的情况，得出压力扰动点在水面移动将激起一系列的散波和横波；激起的散波和横波波峰线可以用以波浪传播角θ为参数的等相位线方程式表示；横波将在扰动点处以扰动速度的50%向后扩散，形成新波；散波系相对航线向外凸出，任意点波速等于压力扰动点在垂直于单个波峰线上的速度分量vcosϕ( ϕ为航线与波传播方向之间的夹角)，散波波长等于航线上的波长乘以cos² ϕ。1949年，前苏联包瑞奇在莫斯科运河实船试验和模型试验的基础上提出了计算波高的包瑞奇公式，把船速作为主要影响因素。1958年，前苏联向金基对于包瑞奇的研究，在理论分析和数学推导的基础上，引入干扰系数K，进一步得到了船舶沿运河轴线行驶时，靠近岸坡的船行波波高^[3]。1977年Dawson提出了Rankine源方法即直接对各片体物面压力积分求得三体船的兴波阻力^[4]，被视为船行波波浪载荷问题计算的突破性进展。1990年荷兰Delft水工试验所提出计算波高的经验公式，第1次使用了船型修正系数^[5]。1997年Sorensen发表了不同航速区除波高外的波浪要素计算公式^[6]。我国针对船行波的研究起步较晚，且理论方面的研究不多，系统的船模试验开始于20世纪60年代。1963年，余广明等对大运河船行波问题进行了室内模型研究，提出了紧靠船边和临近岸坡的最大波高影响因素(相对船速、断面系数、相对水深)及各因素分别与紧靠船边的相对最大波高的相关曲线^[7]。1992年，南京水利科学研究院、江苏省交通规划设计院合作进行现场测试和室内船模试验，研究成果验证了Delft波高公式的合理性^[8]。

在船行波侵蚀河岸研究方面，荷兰Delft水工研究所1981—1983年在Hartel航道系统开展了护岸工程结构型式和滤层材料的模型试验研究^[8]。Osman等^[9]提出了水流对黏性岸坡侧向侵蚀模型，同时给出了相关参数侵蚀速率经验常数S_e和土壤临界切应力τ_c的相关关系。Trimbak等利用侧向侵蚀模型，在结合实测数据系列的前提下，对船行波作用下密西西比河流域的岸坡冲蚀进行了数值模拟^[10]。

目前我国量化评估船行波侵蚀河岸的理论研究和工程应用比较少见，本文在总结国内外相关研究的基础上，试图系统地建立船行波河岸侵蚀的计算模型，并结合鄂州市长港河侵蚀进行实例计算。

1 船行波侧向侵蚀岸坡的计算理论

河岸在船行波作用下侵蚀后退距离取决于单个船舶船行波对河岸的侵蚀速率和各船舶船行波的作用时间。船舶类型及其数量、船行波作用时间可由现场观测和调查获得，而单个船舶船行波的侵蚀速率则需要根据船舶参数(吨位、尺寸、航速)通过以下步骤计算获得。

1.1 船行波波浪要素计算

船行波由初生波和次生波组成。Hemphill提出，当船行波相对断面系数k＜0.05时，船舶航行时激起的波浪主要以次生波为主，初生波可忽略^[11]。

$ \mathit{k}={{\mathit{A}}_{\rm{s}}}/{{\mathit{A}}_{\rm{c}}}~ $

(1)

式中：A_s为该工况下船舶吃水线以下的船体横截面积；A_c为静水位时的河道横断面面积。

船行波理论研究、原体观测及室内模型试验结果都表明，次生波的波态与船速及水深有密切关系。1997年Sorensen提出用水深弗汝德数F_d来判断快艇航行时所处航速区^[6]：

$ {{\mathit{F}}_{\mathit{d}}}=\mathit{V}/\sqrt{\mathit{gd}} $

(2)

式中:F_d为水深弗汝德数，无量纲；V为船速；g为重力加速度；d为水深。

当F_d＜0.75时，航速位于亚临界流速区，对应深水次生波波态。该波态由横波和散波两种类型的波组成。横波传播方向与船行驶方向相同，散波是接近平行的一组短波，沿航向对称分布，传播方向与航向的夹角约为55°。

当F_d＞0.75时，对应浅水次生波波态。其中当0.75≤F_d＜1.00时，航速位于跨临界流速区，次生波散波波峰线与航线夹角随着F_d的增大逐渐增大接近90°，形成首横波和尾横波，散波与横波合一，波高达到最大值，波峰线长度随速度的增大而增大。当F_d≥1.00时，航速位于超临界流速区，横波消失，只剩下散波。散波的波峰线较长，波峰线与航线夹角随航速增加而逐渐减小。

根据1997年Sorensen发表的不同航速区波浪要素(不含波高)计算公式^[6]可知，亚临界流速区波浪要素计算式如下：

$ \mathit{c}=\mathit{V}\rm{cos}\mathit{\theta } $

(3)

$ \mathit{L}=2\pi {{\mathit{c}}^{2}}/\mathit{g} $

(4)

$ \mathit{T}=\mathit{L}/\mathit{c} $

(5)

式中：θ为波浪传播角(取θ=35.3°)；c为波速；L为波长；T为周期。

跨临界流速区波速c的计算同式(3)，周期T同式(5)，其余波浪要素计算式如下：

$ \theta =35.3(1-{{\rm{e}}^{12({{\mathit{F}}_{\mathit{d}}}-1)}}) $

(6)

$ {{\mathit{c}}^{2}}=\left( \mathit{gL}/2 \right)\pi \rm{tanh}(2\pi \mathit{d}/\mathit{L}) $

(7)

式中：波长L通过试算确定；tanhx为双曲余切函数。

超临界流速区波速c的计算同式(3)，波长L同式(7)，周期T同式(5)，波浪传播角计算式如下：

$ \theta =90{}^\circ -\rm{arcsin}(1/{{\mathit{F}}_{\mathit{d}}})~ $

(8)

南京水利科学研究院的研究成果说明我国的内河航道最大波高在进行计算时基本符合Delft公式^[8]，因此本次计算采用该公式。

$ {{\mathit{H}}_{\rm{m}}}=\mathit{Ad}{{\left( \mathit{S}/\mathit{d} \right)}^{-0.33}}\mathit{F}_{d}^{2.67}~ $

(9)

式中：H_m为最大波高；A为船型修正系数，无量纲，根据参考文献[8]，巡逻艇、满载内河马达船取1.0，空载货船取0.5，空载马达船取0.35，拖牵船队取0.42；S为船舶与岸坡的距离。

1.2 船行波侵蚀河岸的计算

Osman和Thorne研究了船行波对黏土岸坡的侧向侵蚀，建立了计算平均侵蚀速率的侧向侵蚀计算模型^[9]：

$ \mathit{E}=\rm{d}\mathit{b}/\rm{d}\mathit{t}={{\mathit{s}}_{\rm{e}}}\rm{ }\!\!~\!\!\rm{ }\left[\left( \tau-{{\tau }_{\rm{c}}} \right)/{{\tau }_{\rm{c}}}~ \right] $

(10)

式中：b为岸坡侵蚀后退距离; db/dt为岸坡侵蚀速率；τ为土壤有效切应力；τ_c为土壤临界切应力；s_e为侵蚀速率经验常数，Osman和Thorne通过开展黏土河岸侵蚀试验，给出了侵蚀速率常数与土壤有效切应力之间的关系式^[9]：

$ {{\mathit{s}}_{\rm{e}}}=0.364{{\tau }_{\rm{c}}}{{\rm{e}}^{-1.3{{\tau }_{\rm{c}}}}}/(\rho \mathit{g})~ $

(11)

式中：ρ为水的密度。

Temple等^[12]提出了确定各种土壤临界切应力的公式，其中黏性土临界切应力按下式计算：

$ {{\tau }_{\rm{c}}}={{\tau }_{\rm{cb}}}{{\mathit{C}}_{\mathit{e}}}^{2}~ $

(12)

式中：τ_cb为土壤基本允许切应力；C_e为孔隙比修正系数。根据参考文献[12]，黏土孔隙比修正系数和基本允许切应力由下式确定：

$ {{\mathit{C}}_{\mathit{e}}}=1.48-0.57\mathit{e} $

(13)

$ {{\tau }_{\rm{cb}}}=\left( ~51.25~\mathit{I}_{\rm{p}}^{2}+684.97\rm{ }{{\mathit{I}}_{\rm{p}}}+2\rm{ }284.8 \right)\rm{ }\times {{10}^{-4}}~ $

(14)

式中：e为孔隙比；I_p为塑性指数。

波浪对河岸土体产生的有效切应力τ用Parchure计算式进行计算^[10]：

$ \tau ={{\mathit{f}}_{\rm{w}}}\rho u_{\rm{b}}^{2}/2 $

(15)

式中：f_w为波浪摩阻系数；ρ为水的密度，取1 000 kg/m³；u_b为近底波浪质点水平速度。

根据微幅波理论，f_w及u_b可采用以下计算式：

$ 1/(4\sqrt{{{\mathit{f}}_{\rm{w}}}}\rm{ })+\rm{log}\left( 1/{{\mathit{f}}_{\rm{w}}} \right)=-0.08+\rm{log}\left( {{\mathit{A}}_{\rm{ab}}}/{{\mathit{K}}_{\rm{s}}} \right) $

(16)

$ {{\mathit{A}}_{\rm{ab}}}=~\frac{\rm{cosh}\left( \mathit{kh} \right)~\rm{ }}{\rm{sinh}\left( \mathit{kh} \right)}\mathit{a} $

(17)

$ {{\mathit{u}}_{\rm{b}}}={{\mathit{A}}_{\rm{ab}}}2\pi /\mathit{T} $

(18)

$ \mathit{k}=2\pi /\mathit{L} $

(19)

式中：ɑ为波浪振幅，即有效波高的一半，有效波高取最大波高的一半；k为波数，即在波浪传播方向上2π长度内出现的全波数目；h为波浪序列在岸坡影响区底部的水深，即波高的一半；K_s为相对粗糙度，无量纲，根据Soulsby^[13]推荐的K_s与粒径间的关系为K_s=2.5d₅₀。

综合以上数据可求得各船型船行波对土质岸坡的侵蚀速率，然后乘以各船型1年内通过次数及每次船行波的作用时间，累计便可得到该河岸在1年内的侵蚀后退距离。

2 案例分析 2.1 长港河河岸侵蚀崩塌

长港河位于湖北鄂州市，河道全长46.5 km，流域总面积3 265 km²，是梁子湖湖水向长江排泄的唯一通道。长港河旅游通航河段为梁子湖湖口至磨刀矶节制闸间1.5 km长河段，主要通航小型快艇和小型游艇。该河段为冲积平原湖区地形地貌，河道纵坡1/20 000，常水位18.00 m，常水位时平均河面宽度约55 m，河底深泓高程约12.00 m，两侧地面高程一般在17~20 m(见图 1)。根据现场调查，长港河通航河段一般年份河岸侵蚀后退0.5 m以上，局部甚至每年崩塌后退1.0~1.5 m，威胁着两岸房屋建筑及农田安全。

2.2 河岸侵蚀崩塌原因分析

(1) 河岸抗侵蚀能力较弱。河岸土层分布从上至下依次为：第四系人工堆积物(Q_4ml)，主要为黏土或粉质黏土夹少量碎石、砂砾，厚3~8 m；第四系全新统湖积物(Q_4l)，属湖积成因的黏土，夹极薄粉细砂层，厚3~6 m；第四系上更新统残积物(Q_3el)，黄色，以黏土为主，夹少量砂粒，厚0.3~2.0 m；侏罗系下统武昌群(Jlwc)。岸坡表层主要是黏土，从试验获得：土壤粒度累积分布曲线见图 2，河道边坡粉质黏土层重度18.7 kN/m³，孔隙比0.904，液限36.7%，塑限18.8%，塑性指数17.8，液性指数0.82，内摩擦角10°，凝聚力24 kPa，抗冲性能较弱。长港河常水位18 m，汛期平均水位20 m，水位变幅区除了零散生长的柳树、杨树，基本无其他植被，河岸抗波浪侵蚀的能力较差，在船行波的频繁淘刷作用下，树根间的土壤被淘空，河岸边的树最终倾倒，缺乏植被保护的土质河岸被船行波侵蚀成陡坎，逐渐崩塌后退。

(2) 旅游快艇的频繁波浪冲刷。水流、风浪、船行波浪都可能侵蚀河岸，但是对长港河而言，前两者可以忽略不计：其一，崩塌河段的河道坡降仅1/20 000，河道内水流流速很小，而且一年之中绝大部分时间磨刀矶节制闸是关闭的，即河水不流动；其二，长港河水面狭窄，风浪很小。此外，长港河侵蚀崩塌只发生在通航河段的事实更是佐证了该河段的河岸侵蚀崩塌是船行波导致的。

21世纪初，梁子湖生态旅游蓬勃兴起，从长港河的磨刀矶码头乘坐游艇去湖心的梁子岛是梁子湖旅游的主要路线之一，主要通航船舶是590型敞开式快艇和1180型全棚式游艇。快艇虽然船体小，但航速快，在岸边激起的波浪高达1 m以上，对河岸造成强烈冲刷。尤其旅游旺季游艇往来频繁，对河岸侵蚀更为严重。表 1和表 2分别为长港河游艇参数及其正常年份通航情况调查及实测数据。

此外，不同船型产生的船行波对岸坡的影响时间不同。据现场采用秒表观测，590型敞开式快艇、1180型全棚式游艇单次通过时，其船型波对河岸固定点的持续时间作用分别为10.3和16.1 s。

2.3 船行波作用下的河岸侵蚀计算

选取图 1所示长港河典型河道断面和表 1、表 2列出的船舶航行参数，分别计算590敞开式快艇和1180全棚式游艇的单船波浪侵蚀速率，并最终计算河岸年侵蚀后退距离。

将表 1、图 1中相关数据代入式(1) 和(2) 求得590敞开式快艇k=0.003 8＜0.05, F_d=1.14＞1.00，故其船行波计算仅考虑次深波影响且航速位于超临界航速区；1180全棚式游艇k=0.006 6＜0.05, F_d=0.673＜0.75，故船行波计算仅考虑次深波影响且航速位于亚临界航速区。按以下步骤计算船行波对河岸的侵蚀速率：

(1) 将590敞开式快艇相关参数依次代入式(3)，(5)，(7)，(8)，得到波浪传播角θ=28.69°，波速c=7.676 m/s，波长L=482 m，波周期T=62.79 s。

(2) 船型修正系数按巡逻艇取为A=1.0，由水深、船速及船舶至岸边距离，按式(9) 求得最大波高H_m=5.316 m。

(3) 河岸土质为粉质黏土，由土壤孔隙比e=0.904和塑性指数I_p=17.8按式(13)，(14) 求得孔隙比修正系数C_e=0.965，土壤基本允许切应力τ_cb=3.072 N/m²，再由式(12) 得河岸土临界切应力τ_c=2.86 N/m²，代入式(11) 求得侵蚀速率经验常数S_e=2.58×10^-7 m/s。

(4) 从图 3读取小于某粒径含量50%时所对应的粒径d₅₀=0.15 mm；船行波波高取为有效波高，即H_s=0.5H_m =2.658 m；波浪序列对岸坡影响区底部的水深h=H_m/2=2.658 m；按式(16)~(19) 计算得到f_w=0.007 8，u_b=3.834 m/s，代入式(16) 求得船行波在河岸产生的有效切应力τ=57.33 N/m²。

(5) 将有效切应力、临界切应力和侵蚀速率经验常数代入式(10) 得到590敞开式快艇波浪对河岸的侵蚀率E=4.914×10^-6 m/s。

(6) 重复上述步骤(1)~(5)，根据条件选择对应公式计算出1180全棚式游艇波浪对河岸的侵蚀率E=4.677×10^-6 m/s。

结合表 2中两种游艇在1年中航行的次数、每次航行波浪对河岸某点的作用时间以及上面计算得到的两种船型波对河岸的侵蚀率，最终可计算出每年船行波导致长港河河岸侵蚀后退54.4 cm。

3 结语

在总结国内外相关研究成果的基础上，建立了适用于黏性土质岸坡在船行波作用下的侵蚀计算模型，结合鄂州市长港河实际情况，演示了船行波侵蚀河岸计算的全过程，计算出船行波作用下长港河河岸年平均蚀退54.4 cm，与现场调查结果比较符合。

分析结果表明，旅游快艇体量虽小，但由于航速较快，对土质河岸的侵蚀不容忽视。因此，在进行河流游艇旅游开发规划时，务必进行船行波河岸侵蚀评估，根据评估结果决定是否采取护岸措施，避免因游艇旅游开发而造成河岸及沿岸建筑物等设施的破坏。